降落伞的原理，降落伞与火箭弹的运动竟是一回事？| 曹则贤《军事物理学》

其中明确了流体密度的作用，A是运动物体的迎面面积，是拖曳系数(drag coefficient)。其实这样的公式也是勉强的，流体阻力并不是正比于

(此公式中的1/2是为了就合基于的后继计算方便)，而拖曳系数

，对于上述n=2 的情形是无量纲的，则是把一些不便考虑的因素笼统地打包表示而已，这是典型的把问题当作灰尘扫到毯子下面 (sweep the dust under the rug)的做法。对于具体的情形，比如深水炸弹在水中的自由下落过程，还是以实验为准。不管具体的细节，就均匀物体的自由下落而言，物体块头越大，最终达到的终极速度越大，因为阻力和迎面面积成正比，而重力同体积成正比。

在飞机关闭发动机、使用减速伞的情形，速度是水平方向的，重力不起作用，显然终极速度是零。如果在重力之外一直还有推力的存在，抛射体在空气中的运动可以是非常简单的形式。实际上，只要空气阻力是一个随着速度增加的函数，则将一个抛射体从零开始加速总会到达这样的时刻，其推力与阻力达到平衡。如果此后空气的物理参数没有剧烈的改变，抛射体会大致保持匀速运动。巡航导弹的中间巡航阶段就是这样运动的。巡航导弹是一种尺寸较小、有尾翼的导弹，其在发射后依靠主发动机的推进会达到推力与空气阻力平衡、升力与重力平衡的状态，从而以近似等高度、等速度的状态在低空中长途飞行。巡航导弹在稠密大气层飞行，飞行高度低，不易被远程侦测，攻击具有突然性。

火箭方程

抛射体的弹道问题初步，可简化为一定质量的、具有一定初速度矢量的质点在重力场下、大气中的自由飞行过程。抛射体的飞行距离受限于其能获得的初速，指望提高初速以提高射程效果也极为有限。使用火药爆炸给予加速的这类火炮，射程(range)被限制在了100 km左右，大口径的可能只有40 km。对抛射体飞行这个物理问题的扩展，一方面是抛射体在运动过程中随时会有加速, 另一方面抛射体的质量也是动态变化着的。此外，实际的炮弹，尤其是后来演化出的火箭弹，具有很大的尺寸和大的长径比，当作质点处理就不合适了，必须当作有限尺寸、具有特定几何的刚体对待，其飞行稳定性是首要考量(见下)。为了提高射程, 策略之一是发射后继续加速。作为二级效应，一些阶段性有用的部分在变得多余之后可以抛掉，比如运载火箭在发射过程中会及时抛掉前级火箭的空壳(不知道这灵感是否来自鸟类。鸟类在飞行途中会随时排泄以减少自身重量)。在抛体飞行过程中加速的一种简单实现方式见于火箭增程弹(racket-assisted projectile)。火箭增程弹是火炮和火箭技术相结合的产物，弹丸后部加装一台火箭发动机。当弹丸飞离炮筒一定距离后，火箭发动机点火给弹体加速，从而达到增程的目的。20世纪30年代就出现了火箭炮，炮弹以火箭推进的方式获得更远的射程。火箭炮完全依靠火箭发动机助推飞行。火箭炮没有后座装置，因为它的发射是一个从零速度开始加速的过程，初始时的加速度也可以是不那么剧烈的。根据公开的资料，中国 “卫士-2D” 型火箭炮的火箭弹长为8100毫米，弹径为425毫米，射程可达400公里。

任何一个装置，通过一个消耗自身质量的反方向推进系统获得加速度，都可以看作火箭。古时候就有的鞭炮“窜天猴”就是火箭的原型。自加速体系可以笼统地都归入火箭一类，其利用的原理一般会表述为动量守恒，但可以理解为两体体系的惯性问题。不受外力的两体体系，

, 当一者因为爆炸、燃烧、弹出等原因获得动量增量∆p时，另一部分必然获得动量增量-∆p，这就是反冲。利用持续的反冲过程可以实现长时间加速从而获得高速。

当一个物体最终被加速达到第一宇宙速度，7.9 km/s, 即便停止加速该物体也不再是抛体了，因为它不再会因为重力而落下。若达到第二宇宙速度，11.2 km/s, 该物体就能飞离地球。达到第一宇宙速度是开启航天时代的前提条件。

齐奥尔科夫斯基 (Константи́н Эдуа́рдович Циолко́вский，1857-1935) 于1898年完成了航天领域的经典论文《利用喷气工具研究宇宙空间》， 开启了利用火箭的航天时代，其于1903年推导得到的齐奥尔科夫斯基火箭方程(Tsiolkovsky rocket equation) 是理解火箭推进问题的学术基础。考察一枚火箭，假设它离地面很远重力可忽略不计故而是一个不受外力的体系，在t时刻质量为m，速度 (严格说来是速率)为V, 在下一时刻t+dt质量变为m+dm而被加速到V+dV，原因是喷射出了相对于火箭其速度 (强调一下，谈论速度是要有参照物的！)为

的质量-dm, 由动量守恒得